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فارسی Formules et calculs résolus
L’arithmétique d’une liaison fibre tient sur une page : les décibels, l’atténuation, les paramètres de guidage qui décident du monomode ou du multimode, la dispersion, le bilan de liaison, les réflexions, la conversion du temps en distance par l’OTDR, la latence, et la mécanique de la courbure et de la tension. Chaque formule vient avec un exemple chiffré qui reprend les valeurs de l’aide-mémoire.
Décibels et puissance
| Formule | Signification |
|---|---|
| P [dBm] = 10 · log₁₀ (P [mW] / 1 mW) | puissance absolue ; 0 dBm = 1 mW |
| P [mW] = 10^(P [dBm] / 10) | retour aux milliwatts |
| Perte [dB] = P_entrée [dBm] − P_sortie [dBm] | un rapport exprimé en décibels ; rapport = 10^(perte / 10) |
| P_totale [dBm] = 10 · log₁₀ Σ 10^(P_i / 10) | les puissances s’additionnent en milliwatts, jamais en dBm |
| 3 dB ≈ × 2 ; 10 dB = × 10 ; 1 dB ≈ 26 % ; 0,1 dB ≈ 2,3 % | calcul mental |
Exemple : un émetteur à −8,2 dBm à travers 6,2 dB de perte arrive à −14,4 dBm = 0,036 mW. Deux canaux DWDM à −3 dBm chacun totalisent 0 dBm, pas −6 dBm.
Atténuation
| Formule | Signification |
|---|---|
| α [dB/km] = (10 / L) · log₁₀ (P_entrée / P_sortie) | coefficient d’atténuation obtenu par coupure (cutback) ou par mesure OTDR |
| α(λ₂) / α(λ₁) ≈ (λ₁ / λ₂)⁴ | la diffusion de Rayleigh décroît avec la puissance quatrième de la longueur d’onde |
| A_totale = α · L + N_c · L_c + N_s · L_s + L_composants | perte de toute l’infrastructure : fibre, paires de connecteurs, épissures, coupleurs et filtres |
Exemple : (1310 / 1550)⁴ = 0,51, donc 0,33 dB/km à 1310 nm se ramène à 0,17 dB/km de diffusion à 1550 nm ; l’absorption ajoute le reste jusqu’aux 0,19 dB/km réels (Atténuation et fenêtres de transmission).
Guidage : ouverture numérique, nombre V, modes, coupure, champ de mode
| Formule | Signification |
|---|---|
| ON = √(n₁² − n₂²) = n₀ · sin θ_max | ouverture numérique à partir des indices du cœur et de la gaine optique |
| V = 2π · a · ON / λ | fréquence normalisée pour un rayon de cœur a |
| monomode quand V < 2,405 | au-dessus, le second groupe de modes se propage |
| λ_c = 2π · a · ON / 2,405 | longueur d’onde de coupure |
| N_modes ≈ V² / 2 (indice à saut), ≈ V² / 4 (indice graduel) | nombre de modes guidés dans une fibre multimode |
| w / a ≈ 0,65 + 1,619 · V^−1,5 + 2,879 · V^−6 | approximation de Marcuse ; MFD = 2 · w |
Exemples : n₁ = 1,4675, n₂ = 1,4625 → ON = √(2,1536 − 2,1389) = 0,121. Avec a = 4,1 µm et ON = 0,12, la coupure est λ_c = 2π · 4,1 · 0,12 / 2,405 = 1,285 µm — monomode à 1310 nm et au-delà. À 1310 nm, V = 2,36 et w / a = 1,113, donc le MFD est de 9,1 µm. Une fibre multimode 50 µm d’ON 0,20 à 850 nm a V = 37 et environ 340 modes guidés (Comment la lumière se propage dans la fibre).
Dispersion
| Formule | Signification |
|---|---|
| Δτ = D · L · Δλ | étalement chromatique de l’impulsion, D pris en valeur absolue : D en ps/(nm·km), L en km, largeur spectrale de la source Δλ en nm |
| L_max = CD_tolérance / D | portée limitée par la dispersion à partir de la tolérance du transceiver (D en valeur absolue) |
| D(λ) = (S₀ / 4) · (λ − λ₀⁴ / λ³) | dispersion d’une fibre G.652 à partir de la longueur d’onde de dispersion nulle λ₀ et de la pente S₀ |
| DGD_moyen = PMD_coef · √L | la dispersion de mode de polarisation croît avec la racine carrée de la longueur |
| DGD_max ≈ 3 · DGD_moyen | le pire cas rare que le système doit supporter |
| BW_link = EMB / L | bande passante modale d’une liaison multimode à partir de l’indice MHz·km de la fibre |
Exemples : un laser DFB avec Δλ = 0,1 nm sur 80 km de G.652 (D = 17) s’étale de 136 ps — acceptable pour du 10G ; un laser Fabry-Pérot avec Δλ = 1 nm s’étale de 1 360 ps et ne peut pas porter le 10G sur cette distance. Un module 10G tolérant 1 600 ps/nm atteint 1 600 / 17 = 94 km sur G.652. Avec λ₀ = 1310 nm et S₀ = 0,086 ps/(nm²·km) : D(1550) = 0,0215 · (1550 − 790,8) = 16,3 ps/(nm·km). Une fibre à 0,1 ps/√km sur 400 km a DGD_moyen = 2 ps ; avec une limite de 10 ps pour le 10G, la portée est (10 / 0,1)² = 10 000 km, mais une fibre des années 1980 à 1 ps/√km ne permet que (10 / 1)² = 100 km. L’OM3 (2 000 MHz·km) sur 300 m donne 6,7 GHz de bande passante modale (Dispersion et bande passante).
Bilan de liaison
| Formule | Signification |
|---|---|
| PB = P_tx,min − P_rx,sensibilité | le bilan de puissance de la paire de transceivers |
| Perte = α · L + N_c · L_c + N_s · L_s + L_composants + pénalités | tout ce que prennent l’infrastructure et la physique |
| Marge = PB − Perte ≥ 3 dB | la règle de conception ; 2 dB minimum sur les liaisons courtes bien documentées |
| P_rx,max = P_tx,max − Perte_min ≤ P_saturation | la vérification de saturation sur les liaisons courtes |
| L_coupleur = 10 · log₁₀ N + excédent (0,5–1,5 dB) | perte idéale du coupleur plus l’excédent |
Exemples : 10GBASE-LR, lancement minimal −8,2 dBm, sensibilité −14,4 dBm → PB = 6,2 dB. Une liaison de 10 km avec 4 paires de connecteurs et 4 épissures : 10 · 0,35 + 4 · 0,3 + 4 · 0,05 + 0,5 de pénalité = 5,4 dB → marge de 0,8 dB, insuffisante ; mesurez l’infrastructure ou passez en ER. Un module 10GBASE-ER à +4 dBm sur une liaison de 2 km avec 1,5 dB de perte délivre +2,5 dBm dans un récepteur dont la saturation est à −1 dBm — un atténuateur de 5 dB est nécessaire. Un coupleur 1:32 perd 15,05 + 1,5 = 16,5 dB (Bilan de liaison).
Réflexions
| Formule | Signification |
|---|---|
| R = ((n₁ − n₂) / (n₁ + n₂))² | réflexion de Fresnel à une variation d’indice |
| Réflectance [dB] = 10 · log₁₀ R | négative pour une fraction inférieure à 1 |
| R_événement = K_τ + 10 · log₁₀ (10^(H/5) − 1) | réflectance OTDR à partir de la hauteur de pic H au-dessus de la rétrodiffusion et du coefficient de rétrodiffusion K_τ |
| K_τ = K_1ns + 10 · log₁₀ (τ / 1 ns) | coefficient de rétrodiffusion pour la largeur d’impulsion utilisée |
| ORL [dB] = −10 · log₁₀ Σ 10^(R_i / 10) | affaiblissement de réflexion de la liaison à partir des réflectances de ses événements et du plancher de Rayleigh |
Exemples : verre vers air, n = 1,468 → R = 0,0359 → −14,4 dB. À 1550 nm, K_1ns = −82 dB ; avec une impulsion de 1 µs, K = −52 dB ; un pic de H = 3 dB donne R = −52 + 10 · log₁₀(2,98) = −47,3 dB. Une liaison avec des événements à −50 et −35 dB et un plancher de Rayleigh de −32 dB retourne 10⁻⁵ + 3,2 · 10⁻⁴ + 6,3 · 10⁻⁴ = 9,6 · 10⁻⁴ → ORL = 30,2 dB (Réflexions et affaiblissement de réflexion).
OTDR
| Formule | Signification |
|---|---|
| d = c · t / (2 · n) | distance à partir du temps aller-retour, avec l’indice de groupe n |
| Δd / d = Δn / n | erreur de distance due à une erreur d’indice |
| résolution ≈ c · τ / (2 · n) ≈ 0,1 m par ns d’impulsion | la longueur spatiale de l’impulsion, le plancher de la zone morte d’événement |
| L_portée ≈ (DR − 6 dB − Σ pertes des événements) / α | portée utilisable à partir de la plage dynamique |
| L_fibre = L_câble · (1 + EFL) + Σ réserves | longueur de fibre par rapport à la longueur du câble et de l’itinéraire |
Exemples : un retour après 100 µs avec n = 1,468 se situe à 10,22 km ; une erreur d’indice de 0,0015 le décale de 0,1 % (10 m). Une impulsion de 100 ns fait 10 m de long dans la fibre. Un OTDR avec 40 dB de plage dynamique sur une liaison avec 3 dB de pertes d’événements atteint (40 − 6 − 3) / 0,2 = 155 km à 1550 nm. Un câble de 10 km avec 0,3 % de longueur excédentaire de fibre et huit boîtiers stockant 20 m chacun contient 10,19 km de fibre (Lire une courbe OTDR).
Latence et longueur
| Formule | Signification |
|---|---|
| t = L · n / c = 4,9 µs par km | délai de propagation aller simple dans la fibre |
| RTT = 2 · t | aller-retour |
| Δt_PTP ≈ ΔL · 2,45 ns par m | erreur de synchronisation due à une asymétrie de longueur ΔL entre les deux fibres d’une paire (la moitié de la différence de délai aller simple) |
Exemples : 100 km font 490 µs en aller simple et 0,98 ms en aller-retour ; une différence de longueur de 10 m entre les fibres d’une paire décale le temps PTP d’environ 25 ns (Caractérisation de la fibre).
Mécanique
| Formule | Signification |
|---|---|
| ε_courbure = r / R | déformation à l’extérieur d’une courbure : rayon du verre r = 62,5 µm, rayon de courbure R |
| ε = F / (E · A) | déformation due à la tension : E = 72 GPa, A = π · (62,5 µm)² = 1,23 · 10⁻⁸ m² |
| flèche ≈ w · S² / (8 · T) | flèche parabolique d’une portée aérienne : poids par mètre w, portée S, tension T |
Exemples : R = 15 mm donne 0,42 % de déformation, R = 30 mm donne 0,21 % — la règle des 20 % de la contrainte de preuve. L’essai de contrainte à 1 % de déformation correspond à 8,8 N sur la fibre nue, c’est pourquoi ce sont les câbles qui portent la tension, pas les fibres. Une portée de 100 m d’un câble de 1,5 N/m à une tension de 2 000 N fléchit de 0,94 m (Fiabilité et vieillissement, Installation).
Calcul de dimensionnement
| Formule | Signification |
|---|---|
| N_fibres = arrondi au multiple de 12 supérieur de (circuits · fibres par circuit · facteur de croissance) | nombre de fibres d’un câble |
| N_points d’épissure ≈ L / longueur de touret − 1 + entrées | épissures en pleine portée d’après les longueurs de touret, plus les entrées de bâtiment |
| Réserve = N_fibres − en service ≥ 25 % | la règle empirique de réserve |
Exemples : 20 circuits duplex avec un facteur de croissance de 2 nécessitent 80 fibres → un câble 96 fibres. Un itinéraire de 30 km sur des tourets de 4 km nécessite 7 points d’épissure en pleine portée plus deux entrées de bâtiment (Topologies de réseaux en fibre).
Dans CodingBox
Deux entrées de chaque calcul de bilan sortent de la mémoire du module : sa puissance d’émission minimale et maximale, et la sensibilité et la saturation de son récepteur, plus les valeurs Tx et Rx en direct une fois la liaison établie. CodingBox les lit, si bien que les formules ci-dessus partent du module en main, pas d’une fiche technique générique (Check transceiver, Le DDM dans l’application, Unités et conversions).